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Uni Bonn -- SS25, Analysis II collaborative deck. In case of questions, contact August: [email protected]

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Published	04/13/2025	Definition: Metrik \(d\) auf einer Menge \(X\)
Published	04/13/2025	\((X,d)\) heißt?
Published	04/13/2025	Diskrete Metrik
Published	04/13/2025	Metrik der französischen Eisenbahn
Published	04/13/2025	Definition: Norm
Published	04/13/2025	\((V, \|\|\cdot\|\|)\) heißt
Published	04/13/2025	Definition: Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum \(V\)
Published	04/13/2025	\((V,\langle \cdot,\cdot \rangle)\) heißt
Published	04/13/2025	\((V, \|\|\cdot\|\|)\) normierter Raum, \(d(u,v):=\){{c2::\(\|\|u-v\|\|\)}}.Dann definiert \(d\) {{c1::eine Metrik}} auf \(V\).
Published	04/13/2025	\((V,\langle \cdot,\cdot \rangle )\) euklidischer Raum. Dann definiert \(\|\|u\|\|:=\){{c1::\(\sqrt{\langle u,u\rangle }\)}} {{c2::eine Nor…
Published	04/13/2025	Ungleichung in euklidischen Räumen
Published	04/13/2025	Wann heißen zwei Normen auf einem Vektorraum äquivalent?
Published	04/13/2025	{{c1::Alle Normen}} auf {{c2::\(\mathbb R^n\)}} sind {{c3::äquivalent}}.
Published	04/13/2025	{{c1::\(\|\|x\|\|_{l^p}\)}}\(:=\){{c2:: \(\left( \sum_{i=1}^\infty \vert x_i \vert ^ p \right) ^ {\frac{1}{p}}; \, p \in [1,\infty)\) }}
Published	04/13/2025	{{c1::\(\|\|x\|\|_{l^\infty}\)}}\(:=\){{c2::\(\sup_{i\in\mathbb N}\|x_i\|\)}}
Published	04/13/2025	{{c1::\(l^{\,p}\)}}\(:=\){{c2::\(\{x\in V\|\text{ }\|\|x\|\|_{l^{\,p}}<\infty\}\)}}
Published	04/13/2025	Eine Folge \((x_k)\subset X\) in einem metrischen Raum \((X,d)\) heißt beschränkt, falls
Published	04/13/2025	Eine Folge \((x_k)\subset X\) von einem metrischen Raum \((X,d)\)  heißt konvergent, falls
Published	04/13/2025	Satz von Bolzano-Weierstraß
Published	04/13/2025	Eine Folge \((x^k)\subset X\) heißt Cauchy-Folge, falls
Published	04/13/2025	{{c1::Jede konvergente Folge}} ist {{c2::Cauchy-Folge}}.
Published	04/13/2025	Ein metrischer Raum heißt vollständig, falls
Published	04/13/2025	Ein metrischer Raum in dem jede Cauchy-Folge konvergiert heißt
Published	04/13/2025	Ein vollständiger normierter Raum heißt
Published	04/13/2025	Ein vollständiger euklidischer Raum heißt
Published	04/13/2025	\((X,d)\) metrisch. Wann heißt \(U\subseteq X\) Umgebung von \(x_0\in X?\)
Published	04/13/2025	\((X,d)\) metrisch. Wann heißt \(U\subseteq X\) offen?
Published	04/15/2025	\((X,d)\) metrisch \(A\subset X\) heißt {{c2::abgeschlossen}}, wenn {{c1::\(A^c :=X\setminus A\) offen ist}}
Published	04/13/2025	Was ist die Hausdorffsche Trennungseigenschaft?
Published	04/13/2025	\(A\subset X\) ist genau dann abgeschlossen, wenn jeder Grenzwert einer in \(X\) konvergenten Folge \((x_k)\subset A\) {{c1::wiede…
Published	04/15/2025	\((X,d)\) sei ein metrischer Raum und \(M\subseteq X\). Ein Punkt \(x_0\in X\) heißt {{c1:: innerer Punkt vo \(M\)}}, we…
Published	04/13/2025	\((X,d)\) sei ein metrischer Raum und \(M\subseteq X.\) Ein Punkt \(x_0\in X\) heißt {{c1:: innerer Punkt von \(M,\…
Published	04/13/2025	\((X,d)\) sei ein metrischer Raum und \(M\subseteq X.\) Ein Punkt \(x_0\in X\) heißt Häufungspunkt von \(M,\) wenn …
Published	04/13/2025	\((X,d)\) sei ein metrischer Raum und \(M\subseteq X\). Ein Punkt \(x_0\in X\) heißt isolierter Punkt, wenn {{c1::\(x_0\in M\), ab…
Published	04/13/2025	\((X,d_x)\) und \((Y,d_y)\) seien metrische Räume. \(X\times Y\) wird mit der Funktion {{c1::\(d((x_1,y_1),(x_2,y_2))\coloneq…
Published	04/13/2025	\[B_r((x_0,y_0))\coloneqq\] {{c1::\[B_r(x_0)\times B_r(y_0)\]}}
Published	04/13/2025	\(X\subset X\times Y\) ist offen, wenn {{c1:: es zu\((x,y)\in W\) Umgebungen \(U\) von \(x\) und \(V\) von&nbs…
Published	04/13/2025	\((X,d_x)\) und \((Y,d_y)\) seien metrische Räume. Eine Abbildung \(f\colon X\to Y\) heißt stetig in \(x_0\in X,\) …
Published	04/13/2025	\((X,d_x)\) und \((Y,d_y)\) seien metrische Räume. Eine Abbildung\(f\colon X\to Y\) heißt stetig auf X, falls {{c1:: f in jedem Pu…
Published	04/13/2025	\((X,d)\) metrisch. \(X_0\subset X,\) so dass \((X_0,d_{\|X_0})\) ebenfalls eine Metrik ist. \(U_0\subset X_0\) heiß…
Published	04/13/2025	\((X,d_x)\) und \((Y,d_y)\) seien metrische Räume. Eine Abbildung \(f\colon X\to Y\) heißt Lipschitz-stetig auf X, falls {{c1…
Published	04/13/2025	\((X,d_x)\) und \((Y,d_y)\) seien metrische Räume. Genau wann ist eine Abbildung \(f\colon X\to Y\) stetig(bezgl. offenen Men…
Published	04/13/2025	\((X,d)\) sei metrischer Raum und \(M\subset X. \overline M \coloneqq \){{c1::\(M\cup \partial M.\)}}
Published	04/13/2025	\((X,d)\) sei metrischer Raum und \(M\subset X. \partial M \coloneqq \){{c1:: die Menge der Randpunkte von \(M\)}}
Published	04/13/2025	\((X,d)\) sei metrischer Raum und \(M\subset X. \dot M\) ist {{c1::die Menge der inneren Punkte von \(M\)}}
Published	04/14/2025	Def. \(X\) homöomorph zu \(Y\)
Published	04/14/2025	Def. Homöomorphismus
Published	04/15/2025	Definition Homöomorphismus
Published	04/15/2025	Definition gleichmäßige Konvergenz
Published	04/15/2025	{{c1::Eine lineare Abbildung \(A\colon V\rightarrow W\) ist stetig}}\(\Leftrightarrow\){{c2::\(\exists C>0\colon\vert\vert Ax\vert\vert\l…
Published	04/15/2025	Was ist \(L(V,W)\)?
Published	04/15/2025	Wie bezeichnet man den Vektorraum der stetigen linearen Abbildungen \(V\rightarrow W\)?
Published	04/15/2025	{{c1::Operatornorm auf \(L(V,W)\)}}{{c2::\(\vert\vert A\vert\vert_{L(V,W)}\)}}\(\colon=\){{c3::\(\sup\{\vert\vert Ax\vert\vert_W\text{ }\vert\tex…
Published	04/15/2025	Definition (überdeckungs) kompakt
Published	04/15/2025	Definition offene Überdeckung
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