Notes in Structures algébriques

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Published	01/28/2025	Soit \(G\) un groupe de cardinal \(p\) premier.{{c1::Soit \(g \in G\ \backslash\ \{1_G\}\). L'ordre de \(g\) divise…
Published	01/28/2025	Montrer que \(\mathbb Q[z]\) est un sous-corps de \(\mathbb C\).Soit \(\omega \in \mathbb Q[z]\).{{c1::L'endomorphisme d'espace ve…
Published	01/28/2025	Soit \(G\) un groupe de cardinal impair. Montrer \(\forall a \in G, \exists! b \in G, a= b^2\).Existence : {{c1::L'ordre de \…
Published	01/28/2025	Soit \(A\) un anneau commutatif. {{c2::\(A\) est un corps}} \(\Leftrightarrow\) {{c1::les seuls idéaux de \(A\) son…
Published	01/28/2025	Soit \(A\) un anneau commutatif et intègre qui admet un nombre fini d'idéaux. Alors {{c1::\(A\) est un corps}}.Pour tout \(x \in A…
Published	01/28/2025	Soit \(G\) un groupe possédant un nombre fini de sous-groupes. Montrer que {{c1::\(G\) est fini}}.On a \({{c1::G = \displaystyle \…
Published	01/28/2025	Soient \(G\) un groupe fini commutatif, \(H\) un sous-groupe de \(G\) et \(\chi\) un caractère de \(H\). …
Published	01/28/2025	Soit \(G\) un groupe fini commutatif. Pour tout \(p \in \mathbb P\) divisant \(\mathrm {card}(G)\), il existe un élément d'or…
Published	01/28/2025	Soit \(A\) un anneau, et \(x \in A\) un élément nilpotent.\({{c1::1 - x}}\) est inversible (\({{c1::\displaystyle \sum_{k=0}^…
Published	01/28/2025	Déterminer les morphismes de corps \(f \) de \(\mathbb R\).{{c1::\(\forall x \in \mathbb Q, f(x) = x\).}}{{c1::Si \(x > y\),&nb…
Published	01/28/2025	On pose \(D(S_n) = \{ \sigma\tau\sigma^{-1}\tau^{-1} \| (\sigma, \tau) \in S_n^2 \}\). Montrer que \(D(S_n) = A_n\).{{c1::On a \(D(S_n) …
Published	01/28/2025	Montrer que \(\varepsilon : S_n \to \{-1, 1\}\) est l'unique morphisme non trivial de \(S_n\) dans \(\{-1, 1\}\).{{c1::Si&nbs…
Published	01/28/2025	Soit \(K\) un corps fini. Montrer que \(\mathrm{card}(K) = {{c1::p^d}}\), avec {{c1::\(p \in \mathbb P\) et \(d \in \mathbb N…
Published	01/28/2025	Exposant d'un groupe. Soit \(G\) un groupe commutatif fini. On note \(d\) l'exposant de \(G\), c'est-à-dire le maximum d…
Published	01/28/2025	Soit \(G\) un groupe commutatif. Soient \(a, b \in G\) des éléments d'ordres \(m, n\) premiers entre eux. Montrer que&nb…
Published	01/28/2025	Groupe opérant sur un ensemble. Soit \(G\) un groupe et \(X\) un ensemble quelconque.On dit que \(G\) opère sur&nbs…
Published	01/28/2025	Equation aux classes. Soit \(G\) un groupe fini, et \(X\) un ensemble fini. On note \(G_x = \{s \cdot x \| s \in G\}\)&nb…
Published	01/28/2025	Soit \(G\) un groupe fini. {{c1::Il existe une famille finie de sous-groupes stricts non triviaux de \(G\) \((H_i)_{i\in I}\)&nbsp…
Published	03/20/2025	Soient \(a_n \leqslant \cdots \leqslant a_1\) et \(b_n \leqslant \cdots \leqslant b_1\). Pour tout \(\sigma \in S_n\), on pose&nbs…
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