Notes in 04高阶线性微分方程

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Published	10/05/2024	定理1 如果 \(y_{1}(x)\) 和 \(y_{2}(x)\) 是齐次方程\(y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0\) 的两个线性无关的特解, 那么\(y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)\…
Published	10/05/2024	定理2  如果 \(y^{*}\) 是非齐次方程 \(y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)\) 的一个特解, \(y_{1}(x)\) 和 \(y_{2}(x)\) 是齐次方程 \(y^{\prime \prime}…
Published	10/05/2024	定理3如果 \(y_{1}^{}(x), y_{2}^{}(x)\) 是非齐次方程\(y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)\)的两个特解,则 \(y(x)=y_{2}^{}(x)-y_{1}^{}(x)\) 是齐次微分方程 \(…
Published	10/05/2024	定理4 如果 \(y_{1}^{}(x), y_{2}^{}(x)\) 分别是方程\(\begin{aligned}&y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f_{1}(x) \\&y^{\prime \prime}+p(x) y^{\p…
Published	10/05/2024	常系数齐次线性微分方程解的结构二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为\(y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0,(3)\)其特征方程为 \(r^{2}+p r+q=0\), 设 \(r_{1}, r_{2}\) 为该方程的两个根.1) 若 \(r_{1} \neq …
Published	10/05/2024	常系数非齐次线性微分方程解的讨论二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为\(y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x) .(4)\)1)若\(f(x)=P_{m}(x) \mathrm{e}^{\lambda x}\), 其中 \(P_{m}(x)\) 为 \(x…
Published	10/05/2024	三阶常系数齐次线性微分方程通解【选自汤家凤高数讲义-数学三不要求】三阶微分方程新大纲里面也提出要求了(数学三不要求) 超过二阶(一般为三、四阶) 的高阶常系数齐次线性微分方程的求解一般也需要掌握,其求解方法类似于二阶常系数齐次线性微分方程.对于 \(y^{\prime \prime \prime}+…
Published	10/05/2024	高阶线性微分方程解得结构与性质大汇总-选自汤家凤高数讲义\(n\) 阶齐次线性微分方程\[y^{(n)}+a_1(x) y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x) y^{\prime}+a_n(x) y=0\text{(1)}\] \(n\) 阶非齐次线性微分方程\[y^{(n)}+a_…
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