Notes in Fonctions vectorielles

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Published	03/14/2025	Soit \(f : I \to \mathbb C\) une application de classe \(\mathrm C^1\) qui ne s'annule jamais. Montrer que \(\|f\|\) est c…
Published	02/24/2025	Soit \(M : \mathbb R \to \mathrm M_n(\mathbb R)\) une application de classe \(\mathrm C^1\), telle que \(M(0) = \mathrm I_n\)&nbsp…
Published	03/14/2025	Soit \(n\) un entier naturel impair. Montrer que si \(\varphi : \mathbb R \to \mathrm M_n(\mathbb R)\) est à valeurs dans \(\…
Published	03/14/2025	Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb R)\). Montrer que \(\displaystyle \lim_{p \to +\infty} \left( \mathrm I_n + \frac 1 p A \right) ^p = \exp(A…
Published	03/14/2025	Soit \((A, B) \in \mathrm M_n(\mathbb R)^2\) diagonalisables telles que \(\exp(A) = \exp (B)\). Montrer que \(A = B\).{{c1::On mon…
Published	03/14/2025	Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb C)\). Montrer que \(\displaystyle \lim_{t \to +\infty}\exp(tA) = 0\) si et seulement si \(\forall…
Published	02/14/2025	Surjectivité de l'exponentielle matricielle complexe. Soit \(B \in \mathrm {GL}_n(\mathbb C)\). Montrer qu'il existe \(A \in \mathrm M_…
Published	02/14/2025	Racine pe d'une matrice inversible (2nd démonstration). Soit \(B \in \mathrm {GL}_n(\mathbb C)\). Montrer qu'il existe \(A \in \ma…
Published	02/16/2025	Montrer que les morphismes dérivables de \((\mathbb R, +)\) dans \((\mathrm {GL}_n(\mathbb C), \cdot)\) sont exactement des applic…
Published	02/17/2025	Déterminer les morphismes continus de \((\mathbb R, +)\) dans \((\mathrm {GL}_n(\mathbb C), \cdot)\).{{c1::En intégrant \(f(t + y)…
Published	02/17/2025	Morphismes continus de \(\mathbb U\) dans \(\mathrm {GL}_n(\mathbb R)\). Soit \(\varphi : \mathbb U \to \mathrm {GL}_n(\mathbb R)\…
Published	02/17/2025	Morphismes continus de \(\mathbb U\) dans \(\mathrm {GL}_n(\mathbb R)\). Soit \(\varphi : \mathbb U \to \mathrm {GL}_n(\mathbb R)\…
Published	02/18/2025	Morphismes continus de \(\mathbb U\) dans \(\mathrm {GL}_n(\mathbb R)\). Soit \(\varphi : \mathbb U \to \mathrm {GL}_n(\mathbb R)\…
Published	03/08/2025	Calculer \(\Delta_n = \begin{vmatrix} 1 & \alpha_1 & \cdots & \alpha_1^{n-2} & \alpha_1^n \\ \vdots & \vdots & & \vdo…
Published	03/15/2025	Classe de similitude bornée (approche analytique). Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb C)\). On suppose que \(\mathcal S_A = \{PAP^{-1}\ \|…
Published	02/27/2025	Calculer \(\displaystyle \lim_{n \to + \infty}\displaystyle \prod_{k=1}^n \left( 1 + \frac k {n^2} \right)\).{{c1::On a \(\displaystyle \lim…
Published	02/27/2025	Montrer que \(e\) est irrationnel.{{c1::Par l'absurde, \(e = \frac a b\), donc \(\forall N \geqslant b\), \(N! \display…
Published	02/27/2025	Soit \(D \in \mathrm M_n(\mathbb K)\) une matrice de rang \(1\). Déterminer \(\exp(D)\).{{c1::On a \(D^2 = \mathrm {tr}(D)D\)…
Published	02/27/2025	Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb K)\). On pose \(g : M \mapsto AM - MA\). Déterminer \(\exp(g)\).{{c1::\(L_A : M \mapsto AM\) et&n…
Published	02/27/2025	Soit \(X : I \to \mathrm M_n(\mathbb C)\) une fonction de classe \(\mathrm C^1\) telle que \(\forall t \in I, X(t)X'(t) = X'(…
Published	02/27/2025	Soit \(f : [a, b] \to E\) une fonction dérivable telle que \(\forall t \in [a, b], \\|f(t)\\| + \\|f'(t)\\| > 0\). Montrer que \(f\…
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