Review Note

Was ist der Satz der Hauptminore?

Der Satz der Hauptminore besagt, dass eine Matrix \( A \) genau dann positiv definit ist, wenn alle führenden Hauptminore (determinanten der oberen linken \( k \times k \)-Teilmatrizen für \( k = 1, 2, \ldots, n \)) positiv sind.

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Der \textbf{Satz der Hauptminore} (Sylvester-Kriterium) besagt:

Eine symmetrische \( n \times n \)-Matrix \( A \) ist genau dann \textit{positiv definit}, wenn alle führenden Hauptminore der Matrix positiv sind.
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Für eine Matrix
\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \]
sind die führenden Hauptminore:
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\begin{itemize}
    \item Erster Hauptminor: \( \Delta_1 = a_{11} \)
    \item Zweiter Hauptminor: \( \Delta_2 = \begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} \\
    a_{21} & a_{22}
    \end{vmatrix} \)
    \item \(\vdots\)
    \item \(n\)-ter Hauptminor: \( \Delta_n = \det(A) \)
\end{itemize}

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Die Matrix \( A \) ist positiv definit, wenn \( \Delta_1 > 0 \), \( \Delta_2 > 0 \), \(\ldots\), \( \Delta_n > 0 \).