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Last Update: 01/14/2024 01:50 PM

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Unterschied lineare Hülle und Basis?

Lineare Hülle (Spann):
- Die lineare Hülle (oder der Spann) einer Menge von Vektoren in einem Vektorraum ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren.
- Eine Linearkombination bedeutet, dass jeder Vektor in der linearen Hülle als Summe der gegebenen Vektoren, jeweils multipliziert mit einem Skalar, ausgedrückt werden kann.
- Zum Beispiel ist die lineare Hülle der Vektoren v1v1 und v2v2 die Menge aller Vektoren der Form av1+bv2av1+bv2, wobei aa und bb Skalare sind.
- Die lineare Hülle definiert also einen Unterraum, der durch die gegebenen Vektoren "aufgespannt" wird.
Basis:
- Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren in diesem Raum, die zwei wesentliche Eigenschaften erfüllen: Sie sind linear unabhängig und spannen den gesamten Raum auf.
- Linear unabhängig bedeutet, dass kein Vektor in der Basis als Linearkombination der anderen Vektoren der Basis ausgedrückt werden kann.
- Das Aufspannen des gesamten Raumes bedeutet, dass jede Vektor des Raumes als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden kann.
- Eine Basis bietet ein "Koordinatensystem" für den Vektorraum, in dem jeder Vektor des Raumes eindeutig durch Koordinaten (Skalare) in Bezug auf die Basisvektoren beschrieben werden kann.

Zusammenfassung des Unterschieds:

Die lineare Hülle einer Menge von Vektoren ist der von diesen Vektoren erzeugte Unterraum, unabhängig davon, ob die Vektoren linear unabhängig sind oder nicht.
Eine Basis ist eine spezielle Menge von Vektoren, die nicht nur einen Raum aufspannt, sondern dies auch auf eine "effiziente" Weise tut, indem keine redundanten (d.h. linear abhängigen) Vektoren enthalten sind.

Jeder Vektorraum hat unendlich viele mögliche Basen, aber die lineare Hülle einer gegebenen Menge von Vektoren ist eindeutig bestimmt.

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