Review Note

Betrache den vollständig antisymmetrischen 
Epsilon Tensor \(\varepsilon_{ijk}\)

\[\varepsilon_{rst}\,\varepsilon^{rst}=\]\[\varepsilon_{rsi}\,\varepsilon^{rsj}=\]\[\varepsilon_{rij}\,\varepsilon^{rkl}=\]

\[\underbrace{\varepsilon_{rst}\,\varepsilon^{rst}}_{\text{(1,2,3) Permutationen}}=3!=6\]\[\varepsilon_{rsi}\,\varepsilon^{rsj}=2 \,\delta_i\, ^j\]\[\varepsilon_{rij}\,\varepsilon^{rkl}=\delta_i \, ^k \delta_j \, ^l - \delta_i \, ^l \delta_j \, ^k \]
(1) Hier gibt es \(3\) zyklisch gleiche und \(3\) zyklisch
ungleiche Permutationen von \((1,2,3)\)

(2) Hier können nur \(2\) verschiedene Indizes permutiert werden, da
der dritte schon fix ist und bei mehr als \(2\) gleichen \(\varepsilon_{ijk}=0\)

(3) Hier ist bei den "kreuzweise" gerechneten Indizes ein Minus!