Review Note

Аксіоми множини натуральних чисел

1) \(1\in\mathbb{N}\) (одиниця є натуральним числом).
2) Якщо \(a\in\mathbb{N}\), то \(S(a)\in\mathbb{N}\) (число, наступне за натуральним, також є натуральним).
3) \(\nexists a \in \mathbb{N}: S(a)=1\) (одиниця не слідує за жодним натуральним числом).
4) Якщо \(𝑆(𝑏) = 𝑎\) й \(𝑆(𝑐) = 𝑎\), то \(𝑏 = 𝑐\) (натуральне число не може слідувати за двома різними натуральними числами).
5) Аксіома індукції: нехай деяке висловлювання, залежне від числа \(𝑛\), істинне для \(𝑛 = 1\) (база індукції). І нехай для кожного натурального \(𝑘\) з істинності цього висловлювання для \(𝑛 = 𝑘\) випливає його істинність для \(𝑛 = 𝑆(𝑘)\) (індукційне припущення). Тоді це висловлення істинне для всіх натуральних \(𝑛\).