Review Note

心形线 (外摆线的一种)
①\(\text{直角坐标方程 } x^{2}+y^{2}+a x=a \sqrt{x^{2}+y^{2}} \text {; }\)

\(\text { 极坐标方程 } r=\)\(a(1-\cos \theta)\theta \in[0,2 \pi], a>0\text{图像怎么画}\)

②直角坐标方程: \( x^{2}+y^{2}-a x=a \sqrt{x^{2}+y^{2}}, a>0 \)

极坐标方程: \( \rho=a(1+\cos \theta), \theta \in[0,2 \pi], a>0 \text{图像怎么画}\)

这个曲线在各大习题集出现的频率比较高
选自张宇基础30讲
怎么画心形线 \( r=a(1-\cos \theta)(a>0) \) 的图形.
其表达式的右端是以 \( 2 \pi \) 为周期的周期函数, 作图时只要考虑 \( 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi \) 就可以了.
并且,对于方程的右端, \( \theta \) 换作 \( (2 \pi-\theta) \) 时, 其值不变, 也就是说, 若 \( (r, \theta) \) 是曲线上的一个点, 则 \( (r, 2 \pi-\theta) \) 也是曲线上的一个点,
因此图形以极轴为对称轴, 从而只需先考虑 \( 0 \leqslant \theta \leqslant \pi \).
当 \( \theta \) 由 0 增大到 \( \pi, \cos \theta \) 的值由 1 逐渐减小到 -1 , 从而, \( r \) 由 0 逐渐增大到 \( 2 a \). 计算出曲线上的若干个点, 列表如下:
\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline \theta & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \frac{2 \pi}{3} & \frac{3 \pi}{4} & \frac{5 \pi}{6} & \pi \\
\hline r & 0 & \frac{2-\sqrt{3}}{2} a & \frac{2-\sqrt{2}}{2} a & \frac{1}{2} a & a & \frac{3}{2} a & \frac{2+\sqrt{2}}{2} a & \frac{2+\sqrt{3}}{2} a & 2 a \\
\hline
\end{array}\)
描出这些点，连接成一条光滑曲线，然后利用它对极轴的对称性画出全部图形.这条封闭曲线叫作心形线"

\(\text { 常数 } a>0 \text {, 心形线 } r=a(1+\cos \theta) \text { 一周的长度 }=\)_____.

\(\begin{aligned} l & =2 \int_{0}^{\pi} \sqrt{r^{2}+r^{\prime 2}} \mathrm{~d} \theta=2 \int_{0}^{\pi} \sqrt{a^{2}(1+\cos \theta)^{2}+a^{2} \sin ^{2} \theta} \mathrm{d} \theta \\ & =2 a \int_{0}^{\pi} \sqrt{2+2 \cos \theta} \mathrm{d} \theta=2 a \cdot \int_{0}^{\pi} 2 \cos \frac{\theta}{2} \mathrm{~d} \theta=\left.2 a \cdot 4 \sin \frac{\theta}{2}\right|_{0} ^{\pi}=8 a . \end{aligned}\)