Review Note

在自变量的同一变化过程 \(x \rightarrow x_{0}(\) 或 \(x \rightarrow \infty)\) 中, 函数 \(f(x)\) 具有极限 \(A\) 的充分必要条件是________.

定理在自变量的同一变化过程 \(x \rightarrow x_{0}(\) 或 \(x \rightarrow \infty)\) 中,
函数 \(f(x)\) 具有极限 \(A\) 的充分必要条件是 \(f(x)=A+\alpha\), 其中 \(\alpha\) 是无穷小."

证明 
先证必要性
 设 \(\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim} f(x)=A\), 则 \(\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0\), 使当 \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 时,
有\(|f(x)-A|<\varepsilon .\)
令 \(\alpha=f(x)-A\), 则 \(\alpha\) 是当 \(x \rightarrow x_{0}\) 时的无穷小,
且\(f(x)=A+\alpha .\)
这就证明了 \(f(x)\) 等于它的极限 \(A\) 与一个无穷小 \(\alpha\) 之和.
再证充分性
 设 \(f(x)=A+\alpha\), 其中 \(A\) 是常数, \(\alpha\) 是当 \(x \rightarrow x_{0}\) 时的无穷小,
于是\(|f(x)-A|=|\alpha| \text {. }\)
因 \(\alpha\) 是当 \(x \rightarrow x_{0}\) 时的无穷小, 所以 \(\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0\),
使当 \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 时, 有 \(|\alpha|<\varepsilon\),
即\(|f(x)-A|<\varepsilon .\)
这就证明了 \(A\) 是 \(f(x)\) 当 \(x \rightarrow x_{0}\) 时的极限.
类似地可证明当 \(x \rightarrow \infty\) 时的情形.
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