Review Note

形如 \(\frac{ d y}{ d x}=f(a x+b y+c)\) 的方程, 其中常数 \(a, b\) 全都不为零. 其解法为______.

解法令 \(u=a x+b y+c\), 则 \(\frac{ d u}{ d x}=a+b \frac{ d y}{ d x}\), 代入原方程得 \(\frac{ d u}{ d x}=a+b f(u)\).
换元后转化为可分离变量型微分方程"

求微分方程 \(d y=\sin (x+y+100) d x\) 的通解.
选自张宇基础30讲"

解 (1)方程可写成 \(\frac{ d y}{ d x}=\sin (x+y+100)\), 令 \(u=x+y+100\), 则 \(\frac{ d u}{ d x}=1+\frac{ d y}{ d x}\), 于是原方程化为 \(\frac{ d u}{ d x}=\) \(1+\sin u\), 就得到了可分离变量型微分方程.
(2)分离变量, 得 \(\frac{ d u}{1+\sin u}= d x\), 恒等变形, 有 \(\frac{(1-\sin u) d u}{1-\sin ^2 u}= d x\), 即 \(\left(\sec ^2 u-\tan u \sec u\right) d u= d x\) ．
两边积分, 得 \(\tan u-\sec u=x+C\). 将 \(u=x+y+100\) 代入, 得原方程的通解为
\[
\tan (x+y+100)-\sec (x+y+100)=x+C,
\]其中 \(C\) 为任意常数.
【注】事实上, 在本题解析过程中的(2)处, 分离变量得 \(\frac{ d u}{1+\sin u}= d x\) 时, 默认了一件事情, 那就是 \(\sin u \neq-1\), 回避了 \(1+\sin u=0\) 的情况, 从而丢掉了全部解中的部分解 (可称为 “奇解”). 当 \(\sin u=-1\) 时，得
\[
x+y+100=2 k \pi-\frac{\pi}{2},
\]其中 \(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots\). 在《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》中, 只要求求通解, 并不要求求出全部解."