Review Note

Für \(u \in \mathscr S\) ist auch \(\widehat u \in \mathscr S\) und für beliebiges \(\alpha \in \mathbb N_0^n\) gelten die Austauschformeln
ohne weitere einschränkenden Bedingungen.
Wie lauten die Formeln?

Bonus: Spezielle Fälle \((-i \partial_k u)(y), \widehat{(x_k u)}, \widehat{\Delta u}(y)\)

\[\widehat{P^\alpha u} = Q^\alpha \widehat u,\]\[\widehat{Q^\alpha u} = (-1)^{\vert a \vert} P^\alpha \widehat u\]
Bonus: \[\widehat{(-i \partial_k u)}(y) = y_k \widehat u (y), \quad \widehat{(x_k u)} = i \partial_k \widehat u, \quad \widehat{\Delta u}(y) = - \Vert y \Vert^2 \widehat u (y)\]