Review Note

Satz: Sei \(A \in M (m\times n, \mathbb{K})\). Dann ist die Abbildung \(\mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m, \,\,x\mapsto Ax\) linear.
Was gilt umgekehrt für die Abbildung \(f:\mathbb{K}^n\rightarrow \mathbb{K}^m\)?

Wie bezeichnet man diesen Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen?

Für jede Abbildung \(f:\mathbb{K}^n\rightarrow \mathbb{K}^m\) gibt es genau eine Matrix \(A \), sodass \[f(x)=Ax \,\,\forall \,x\in\mathbb{K}^n\]\(\Rightarrow \) Die Zuordnung \(M(m\times n, \mathbb{K})\rightarrow\text{Hom }(\mathbb{K}^n,\mathbb{K}^m)\) ist bijektiv!


Bsp:
Die lineare Abbildung \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\) beschreibt eine \(90\degree\) Drehung.
Durch den Satz wird folgendes garantiert: 
Es gibt genau eine Matrix \(A=\begin{pmatrix}0\,\,\,-1\\1\quad\,\,\,0 \end{pmatrix}\), die diese Transformation beschreibt.
Umgekehrt gibt die Matrix die zugehörige lineare Transformation.