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Last Update: 03/22/2025 02:58 PM
Current Deck: Mathematik::Lineare Algebra
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Was besagt der Basisergänzungssatz?
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Sei \(V\) ein Vektorraum über \(\mathbb{K}\), wobei \(V=\text{span }(v_1,...,v_r\,,\,w_1,...,w_s) \) und \((v_1,...,v_r)\) linear unabhängig sind.
Durch den Basisergänzungssatz kann man beliebige Vektoren aus \((v_1,...,v_r)\) nehmen und mittels passender Vektoren aus \((w_1,...,w_s)\) eine vollständige Basis bilden.
Beispiel mittels Legosteine:
Sei \(V=\mathbb{R}^3\) und man möchte eine Basis mit Legosteinen aus zwei Kisten \(v_i\) und \(w_j\) bilden.
Mit den Steinen aus aus der ersten Kiste kann man nur \(\mathbb{R}^2\) aufspannen. Für die z-Achse wird daher ein passender Legostein aus der zweiten Kiste genommen.
Damit erhält man eine Basis in \(\mathbb{R}^3\)!
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Durch den Basisergänzungssatz kann man beliebige Vektoren aus \((v_1,...,v_r)\) nehmen und mittels passender Vektoren aus \((w_1,...,w_s)\) eine vollständige Basis bilden.
Beispiel mittels Legosteine:
Sei \(V=\mathbb{R}^3\) und man möchte eine Basis mit Legosteinen aus zwei Kisten \(v_i\) und \(w_j\) bilden.
Mit den Steinen aus aus der ersten Kiste kann man nur \(\mathbb{R}^2\) aufspannen. Für die z-Achse wird daher ein passender Legostein aus der zweiten Kiste genommen.
Damit erhält man eine Basis in \(\mathbb{R}^3\)!
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