Review Note

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Déjà :
\begin{equation*}
    \begin{aligned}
        u_n & = \ln \left(n + \sqrt{n^2+1}\right)               \\
            & = \ln \left(n + n \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}\right) \\
    \end{aligned}
\end{equation*}

Lorsque $n \to +\infty$ :
\begin{equation*}
    \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} \sim 1 + \frac{1}{2n^2}
\end{equation*}

Donc :
\begin{equation*}
    n + n\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} \sim 2n + \frac{1}{2n}
\end{equation*}

Ainsi :
\begin{equation*}
    \ln \left(n + n \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}\right) \sim \ln(2n)
\end{equation*}

Ccl. $u_n \sim \ln(2n)\ln(2n)$
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