Review Note

Sei eine DGL gegeben der Form "linear homogen
2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten":
\[y''+a_1\cdot y'+a_0\cdot y=0\]Welchen Ansatz für welchen Fall?

Man setzt immer an: \[y(x)=e^{\lambda x}\]Man setzt \(y(x)\) in die DGL ein und schaut, welche \(\lambda\) diese lösen. Dann vergleicht man:

Fall 1: \(\{\lambda_1,\;\lambda_2\in\mathbb{R}\;|\;\lambda_1≠\lambda_2\}\) 
\(y(x)=A_1\cdot e^{\lambda_1x}+A_2\cdot e^{\lambda_2x}\)

Fall 2: \(\{\lambda_1,\;\lambda_2\in\mathbb{C}\;|\;\lambda_1=\lambda_2=\lambda\}\)
\(y(x)=(A_1+A_2\cdot x)\cdot e^{\lambda x}\)

Fall 3: \(\{\lambda_1,\;\lambda_2\in\mathbb{C}\;|\;\lambda_1≠\lambda_2\}\)
\(y(x)=e^{\text{Re}(\lambda_{1,2})\cdot x} \cdot \left(A_1\cdot \cos(\text{Im}(\lambda_{1,2})\cdot x)+A_2\cdot \sin(\text{Im}(\lambda_{1,2})\cdot x)\right)\)

\(\lambda_{1,2}=a\pm ib:\text{Re} (z)=a,\,\text{Im}(z)=b\)
\(\Rightarrow\;\; y(x)=e^{a\cdot x} \cdot \left(A_1\cdot \cos(b\cdot x)+A_2\cdot \sin(b\cdot x)\right)\)