Review Note

Gegeben sei folgendes Problem (stationäres Wärmeleitungsproblem für die Kreisscheibe):
\[\Delta u =0\,\,\text{ in }\Omega\]\[u=f\;\;\text{ auf }\partial \Omega\]
gib die Lösung \(U(r,\varphi)\) als Fourierreihe an.

\[U(r,\varphi)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty r^{|k|}c_ke^{ik\varphi}\]
wobei \(F(\varphi) := U(1,\varphi ) = f(\cos\varphi,\sin\varphi)\) die Randbedingung ist und \(F(\varphi) = \sum\limits_{k=-\infty}^\infty c_ke^{ik\varphi}\) mit \(c_k = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}F(\psi)e^{-ik\psi}\,d\psi\)