Review Note

\(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) ouvert dense dans \(\mathrm{M}_n(\mathbb{C})\)

\(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) = {{c1::\mathrm{det}^{-1}(\mathbb{C}^*)}}\) et {{c1::le déterminant est continu en tant qu'application polynomiale}} et {{c1::\(\mathbb{C}^*\) est ouvert en tant que complémentaire du fermé \(\{0\}\)}}. Donc \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) est un ouvert de \(\mathrm{M}_n(\mathbb{C})\).

Soit \(M \in \mathrm{M}_n(\mathbb{C})\). {{c2::Pour tout \(p \in \mathbb{N}^*\) assez grand, \(M - \frac 1 p I_n\) est inversible car \(\det(M - XI_n) = (-1)^n\chi_M\) ne s'annule qu'un nombre fini de fois. Comme \(M - \frac 1 p I_n \to M\) quand \(p \to +\infty\)}}, \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) est dense dans \(\mathrm{M}_n(\mathbb{C})\).