Review Note

\(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) est connexe par arcs

Soit \((M, N) \in (\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}))^2\). 

L'application \(\array{\mathbb{C} & \to & \mathbb{C} \\ t &\mapsto& {{c1::\det(tM + (1-t)N)}} }\) est {{c1::polynomiale}}, {{c1::non identiquement nulle car non nulle en \(0\) et en \(1\)}}.

{{c2::Elle s'annule donc un nombre fini de complexes \(x_1, ..., x_k\). Comme \(\mathbb{C} \backslash\{x_1, ..., x_k\}\) est connexe par arcs, il existe un chemin \(\gamma : [0, 1] \to \mathbb{C} \backslash\{x_1, ..., x_k\}\) liant \(0\) et \(1\)}}.

Donc l'application : \[\Gamma :\ \array{[0, 1] & \to & \mathrm{M}_n(\mathbb{C}) \\ t &\mapsto& {{c3::\gamma(t)M + (1-\gamma(t))N}} }\]est {{c3::continue}}, et {{c3::\(\Gamma(0) = N\) et \(\Gamma(1) = M\)}}. Enfin, {{c3::\(\Gamma\) est à valeur dans \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) car \(\gamma\) évite les racines de \(t \mapsto \det(tM + (1-t)N)\)}}.

D'où le résultat.