Review Note

Soit \(f \in \mathrm C^0([a, b], \mathbb R)\) telle que \(\forall n \in \mathbb N, \displaystyle \int_a^b x^nf(x)\mathrm dx = 0\). Montrer que \({{c1::f = 0}}\).

{{c2::Par linéarité, \(\displaystyle \int_a^bP(x)f(x)\mathrm dx = 0\) pour tout \(P \in \mathbb R[X]\).}}
Soient {{c2::\(P \in \mathbb R[X]\) tel que \(\|P-f\|_\infty \leqslant \varepsilon\)}} ({{c2::Théorème de Weierstrass}}) et {{c2::\(M > 0\) tel que \(\|f\|_\infty \leqslant M\)}}. ({{c2::Théorème des bornes atteintes}})

Alors \({{c3::\displaystyle \int_a^b |P(x)f(x) - f(x)f(x)|\mathrm dx \leqslant \displaystyle \int_a^b \|P-f\|_\infty M \mathrm dx \leqslant (b-a)M\varepsilon}}\).

Donc \({{c3::\displaystyle \int_a^b (f(x))^2 \mathrm dx = 0}}\), et \({{c1::f = 0}}\). ({{c3::Propriété de séparation}})