Review Note
Last Update: 01/26/2025 07:45 PM
Current Deck: Mathématiques::Classiques::Thomas lefèvre
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Texte
Soit \(f : [a, +\infty[ \to \mathbb C\) {{c1::uniformément continue}} et telle que \({{c1::\displaystyle \int_a^{+\infty} f}}\) converge. Montrer que \({{c2::\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}}\).
On a : {{c3::\(\left| \displaystyle \int_x^{x+\eta} (f(x)-f(t))\mathrm dt \right| \leqslant \eta\varepsilon\) et \(\left| \displaystyle \int_x^{x+\eta} f(t)\mathrm dt \right| \leqslant \eta\varepsilon\) pour \(x\) assez grand}}.
Donc {{c3::\(\eta|f(x)| \leqslant 2\eta\varepsilon\)}}. D'où le résultat.
On a : {{c3::\(\left| \displaystyle \int_x^{x+\eta} (f(x)-f(t))\mathrm dt \right| \leqslant \eta\varepsilon\) et \(\left| \displaystyle \int_x^{x+\eta} f(t)\mathrm dt \right| \leqslant \eta\varepsilon\) pour \(x\) assez grand}}.
Donc {{c3::\(\eta|f(x)| \leqslant 2\eta\varepsilon\)}}. D'où le résultat.
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