Review Note

Soient \(G\) un groupe fini commutatif, \(H\) un sous-groupe de \(G\) et \(\chi\) un caractère de \(H\). Montrer que \(\chi\) s'étend en un caractère \(\bar \chi : G \to \mathbb C^*\).

Soit \(g \in G\backslash H\). On note \(d = {{c1::\min\{ k \in \mathbb N\backslash\{0\} | g^k \in H\} }}\). Si \(\chi(g^d) = z\) alors \(\bar \chi(g) = z'\) où \(z'\) est {{c1::une racine \(d^e\) de \(z\)}}. On pose \(\bar \chi(hg^k) = \chi(h)\bar\chi(g)^k\). 

C'est bien défini car si \(hg^k = h'g^{k'}\), alors {{c2::\(k'-k = dq + r\), et \(g^r = hh'^{-1}g^{-dq} \in H\), donc \(r = 0\) par minimalité de \(d\)}}. Donc {{c2::\(\bar \chi(g)^{k'} = \bar \chi(g)^{k + dq}\)}} et {{c2::\(\chi (h') = \chi(h)\bar \chi(g)^{-dq}\)}}.