Review Note

Critère de Pépin. Soit \(n \in \mathbb N\). On pose \(f_n = 2^{2^n} + 1\). {{c1::S'il existe \(a \in \mathbb Z\) tel que \(a^{\frac {f_n - 1} 2} \equiv -1 \mod f_n\)}}, alors \(f_n \) est premier.

• {{c2::\(\bar a\) est d'ordre \(d | 2^{2^n}\), et si \(d = 2^k\) avec \(k < 2^n\), \(-\bar 1 = \bar a^{2^{2^n - 1} } = (\bar a^{2^k})^{2^{2^n - k - 1} } = \bar 1\) : Absurde !!!!! Donc \(d = f_n - 1\)}}.
  
• {{c3::Donc \(\mathrm {card}((\mathbb Z/f_n\mathbb Z)^\times) \geqslant \mathrm {card}(\langle\bar a \rangle) = f_n-1\), et \(\mathbb Z/f_n\mathbb Z\) est un corps}}.