Review Note

Soit \(n \in \mathbb N \backslash \{0, 1\}\) tel que \(\forall k \in \mathbb [\![ 1, n-1 ]\!], n| \begin{pmatrix}{} n \\ k \end{pmatrix}\). Alors \(n \) est premier.

{{c1::Si \(p\) est un diviseur premier strict de \(n\), alors \(p^{\nu_p(n)} | (p-1)!\begin{pmatrix}{} n \\ p \end{pmatrix}\), mais \(p^{\nu_p(n)}\) ne divise pas \(\frac n p \displaystyle \prod_{k=1}^{p-1} (n-k)\), car sinon \(p | n-k\) donc \(p|k\) pour \(0 < k < p\). Absurde !!!!!!!!!!!!}}