Review Note

Equation aux classes. Soit \(G\) un groupe fini, et \(X\) un ensemble fini. On note \(G_x = \{s \cdot x | s \in G\}\) et \(S_x = \{s \in G | s \cdot x = x\}\). Si \(\Theta\) contient exactement un représentant de chaque classe d'intransitivité, alors : \[{{c1::\mathrm {card}(X) = \displaystyle \sum_{x \in\Theta}\mathrm {card}(G_x) = \displaystyle \sum_{x \in \Theta} \frac {\mathrm {card}(G)}{\mathrm {card}(S_x)} }}\]Démonstration : {{c2::Pour tout \(x \in X\), On définit la relation d'équivalence \(\mathcal R_x\) sur \(G\) par \(s\ \mathcal R_x\ t \Leftrightarrow s \cdot x = t \cdot x\).}}

• {{c3::On a \(s\ \mathcal R_x\ t \Leftrightarrow (t^{-1}s) \cdot x = x \Leftrightarrow t^{-1}s \in S_x \Leftrightarrow s \in tS_x\), donc les classes d'équivalences de \(\mathcal R_x\) sont de cardinal \(\mathrm {card}(S_x)\).}}
• {{c3::Comme il y a \(\mathrm {card}(G_x)\) classes d'équivalences, \(\mathrm{card}(G) = \mathrm{card}(G_x)\mathrm{card}(S_x)\).}}