Review Note

Soit \(A\) un anneau commutatif. On dit que \(\mathcal M \neq A\) est un idéal maximal si les seuls idéaux contenant \(\mathcal M\) sont \(\mathcal M\) et \(A\). Montrer que \(\mathcal M\) est maximal si et seulement si \(A/\mathcal M\) est un corps.

• \(\Rightarrow\) {{c1::Si \(x \in A\backslash\mathcal M\), \(\mathcal M + xA = A\) (par maximalité de \(\mathcal M\)), donc \(1 = m + xa\), et en réduisant modulo \(\mathcal M\), \(\bar 1 = \bar x \bar a\).}}
  
• \(\Leftarrow\) {{c2::Si \(\mathcal M \varsubsetneq I\), et \(a \in I\backslash \mathcal M\), \(\bar a \neq \bar 0\), donc \(\bar a\bar b = \bar 1\), et \(1 = ab + m \in I\), donc \(I = A\).}}