Review Note

Soit \(A\) un anneau commutatif principal. Montrer qu'un idéal \(\mathcal P \neq \{0\}\) premier (\(xy \in \mathcal P \Rightarrow (x \in \mathcal P \mathrm {\ ou\ } y \in \mathcal P)\)) est maximal (les seuls idéaux contenant \(\mathcal P\) sont \(\mathcal P\) et \(A\)).

• Soit \(mA = \mathcal P \varsubsetneq I = aA\). {{c1::On a \(m = aq\), avec \(q \in \mathcal P\) (car \(\mathcal P\) premier et \(a \not \in \mathcal P\) car sinon \(\mathcal P = I\)).}}
• {{c1::Donc \(q = mp\) et \(m(1 - ap) = 0\), donc \(ap = 1\) (car \(A\) principal donc intègre et \(\mathcal P \neq \{0\}\) donc \(m \neq 0\))}}
• {{c1::Donc \(1 = ap \in I\)}}, et \(I = A\).