Review Note
Last Update: 01/26/2025 07:45 PM
Current Deck: Mathématiques::Classiques::Thomas lefèvre
PublishedCurrently Published Content
Texte
Soit \(p\) un nombre premier impair. Montrer que le nombre de solutions \(N\) de \(x^2 + y^2 \equiv 1 \mod p\) vaut {{c1::\(p + (-1)^{\frac {p+1} 2}\)}}.
- {{c2::On a exactement \(2\) solutions pour tout \(\bar x \in \mathbb Z/p\mathbb Z \backslash \{-\bar 1, \bar 1\}\) tel que \(\bar 1 - \bar x^2\) est un carré, et une pour \(\bar x \in \{-\bar 1, \bar 1\}\).}}
- Donc \(N = {{c2::\displaystyle \sum_{\bar x \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left( 1 + \left(\frac {1-x^2} p \right) \right) = p + \displaystyle \sum_{\bar x \in \mathbb Z/p\mathbb Z } \left(\frac {1-x^2} p \right)}}\).
- On a \({{c2::\displaystyle \sum_{\bar x \in \mathbb Z/p\mathbb Z } \left(\frac {1-x^2} p \right)}} = {{c3::\displaystyle \sum_{\bar x \in \mathbb Z/p\mathbb Z \backslash\{-\bar 1\} } \left(\frac {(1-x)(1+x)^{-1} } p \right)}}\), en utilisant {{c3::la propriété de morphisme de \(\left(\frac \cdot p\right)\)}} et le fait que \({{c3::\left(\frac x p\right) = \left(\frac {x^{-1} } p\right)}}\).
- Comme {{c4::\(f : x \mapsto (1-x)(1+x)^{-1}\) est bijective (\(f^2 = Id\))}}, \({{c1::\displaystyle \sum_{\bar x \in \mathbb Z/p\mathbb Z } \left(\frac {1-x^2} p \right)}} = {{c4::\displaystyle \sum_{\bar x \in \mathbb Z/p\mathbb Z \backslash \{- \bar 1\} } \left(\frac x p \right) = - \left(\frac {-1} p\right)}}\). (car \({{c4::\displaystyle \sum_{\bar x \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac x p \right) = 0}}\))
Verso Extra
Current Tags:
Pending Suggestions
No pending suggestions for this note.