Review Note

Last Update: 01/26/2025 07:45 PM

Current Deck: Mathématiques::Classiques::Thomas lefèvre

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Montrer que \({{c3::\varphi(n) = \displaystyle \sum_{d|n} \mu(d) \frac n d}}\), où \(\varphi\) est la fonction d'Euler et \(\mu\) la fonction de Möbius.

{{c1::On pose \(f * g(n) = \displaystyle \sum_{d|n} f(d)g\left(\frac n d \right)\). On a \(1 * \mu(n) = \delta\) (où \(\delta\) est nulle partout sauf en \(1\)) et \(1 * \varphi = \mathrm{Id}\).}}
{{c2::Donc \(\mathrm{Id} * \mu = (1 * \varphi)* \mu = \varphi * \delta\).}} Comme {{c2::\(\displaystyle \sum_{d|n} \delta(d)\varphi\left(\frac n d \right) = \varphi(n)\)}}, on a le résultat.

Verso Extra

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Lefevre_Thomas

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