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Last Update: 01/26/2025 07:45 PM

Current Deck: Mathématiques::Classiques::Thomas lefèvre

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Soit \(A \in \mathrm M_n(\mathbb C)\). On suppose que \(\varphi_A : M \mapsto AM - MA\) est diagonalisable. Montrer que \(A\) l'est aussi.

{{c1::Décomposition de Dunford : \(A = D + N\). Alors \(\varphi_A = \varphi _D + \varphi_N\).}}
{{c2::\(\varphi_D\) est diagonalisable car \(D\) l'est. \(\varphi_N\) est la somme de \(M \mapsto NM\) et \(M \mapsto -MN\) qui sont nilpotents et commutent, donc \(\varphi_N\) est nilpotent.}}
{{c2::\(\varphi_D\) et \(\varphi_N\) commutent, donc par unicité de la décomposition de Dunford, \(\varphi_N = 0\) (car \(\varphi_A\) est diagonalisable).}}
{{c3::Ainsi \(N\) commute avec toute matrice donc \(N = \lambda I_n\). D'où \(\lambda = 0\) car \(N\) est nilpotente.}}