Review Note

Gegeben sei ein um den Ursprung oszillierender 
elektrischer Dipol mit Dipolmoment \(\vec p(t)=\vec p_0\cdot \sin(\omega t)\)

Was ist das asymptotische Verhalten des Betrags \(|\vec E(\vec x)|\) 
des elektrischen Feldes (gemittelt über eine Periodendauer), 
welches vom Dipol erzeugt wird als Funktion von \(r\) für große \(r\)?

Übersetzung: Formel können und \(\vec p\) einsetzen
 \(|E(r,\vec p)|\xrightarrow{r\to \infty}\ ?\)

\(\vec{E}(\vec{x}, t) = -\frac{\mu_0}{4 \pi |\vec x|} \left( \ddot{\vec{p}} - \vec{n} (\vec{n} \cdot \ddot{\vec{p}}) \right), \ \ \vec n = \frac{\vec x}{|\vec x|}\)

\(|\vec E(r)|=|-\frac{\mu_0}{4 \pi r} \left( \ddot{\vec{p}} - \hat e_x (\hat e_x \cdot \ddot{\vec{p}}) \right)|\)
wobei \(\vec p, \ddot {\vec p}\) unabhängig von \(r =|\vec x|\) sind

Da der Betrag angewandt wird und nur \(\vec p, \ddot {\vec p}\) können Probleme
durch Nullstellen machen.
Doch weil \(\vec p, \ddot {\vec p}\propto \pm\sin\) und durch den Betrag \(0\leq |\vec p, \ddot {\vec p}|\leq 1\cdot p_0\)
ergibt die Mittelung inkl. \(\hat e_x\) einen positiven Wert und damit einen Vorfaktor \(c\geq0\).

\(\Rightarrow |\vec E(r)|_{\text{gemittelt}}=c\cdot\left|{\mu_0\over 4 \pi r}\right|\propto {1\over r}\)\[\Rightarrow |\vec E(r)|\xrightarrow{r\to \infty}0\]