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Last Update: 01/28/2025 10:39 AM

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Soit \(P \in \mathbb R[X]\) tel que \(P \geqslant 0\). Montrer qu'il existe \((A, B) \in \mathbb R[X]^2\) tel que \(P = A^2 + B^2\).

{{c1::On écrit \(P = c\displaystyle \prod_{i = 1}^r (X- \lambda_i)^{\alpha_i} Q\) avec \(Q\) sans racines réelles et \(c \geqslant 0\). Les \(\alpha_i\) sont pairs car sinon \(Q(\lambda) = 0\). De plus \(Q = \displaystyle \prod_{i=1}^s(X - \gamma_i)(X - \bar \gamma_i)\) avec \(\gamma_i \in \mathbb C\).}}
{{c1::On pose \(C = \sqrt c \displaystyle \prod_{i = 1}^r (X- \lambda_i)^{\frac {\alpha_i} 2}\displaystyle \prod_{i=1}^s(X - \gamma_i)\), et on a \(P = C\bar C = \mathrm{Re}(C)^2 + \mathrm{Im}(C)^2\).}}