Review Note

Résultant de deux polynômes. Soit \((P, Q) \in \mathbb K[X]^2\) de degrés \(n\) et \(m\). On pose \(\begin{array}{cc} f : & {{c3::\mathbb K_{m-1}[X] \times \mathbb K_{n-1}[X]}} & \to & {{c3::\mathbb K_{m+n-1}[X]}} \\ & {{c3::(A, B)}} & \mapsto & {{c3::AP + BQ}} \end{array}\). Montrer que \(P\) et \(Q\) sont premiers entre eux si et seulement si \(f\) est injectif.

• \(\Rightarrow\) {{c1::Si \((A, B) \in \ker(f)\), alors \(AP = - BQ\) et donc \(P | B\) (Théorème de Gauß) et \(B = 0\) (car \(n \geqslant \deg(B)\)). De même \(A = 0\), donc \(f\) est injective.}}
  
• \(\Leftarrow \) {{c2::Si \(f\) est injective, elle est surjective, donc \(1 = AP + BQ\). D'où le résultat. (Relation de Bézout)}}