Review Note

Last Update: 01/28/2025 10:39 AM

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Preuve de théorème de D'Alembert-Gauss. On suppose que \(P \in \mathbb C[X]\) non constant ne s'annule pas. On note \(n = \deg(P)\).

\(g : r \mapsto {{c1::\frac 1 {2\pi} \displaystyle \int_0^{2\pi} \frac {P'(re^{i\theta})re^{i\theta} }{P(re^{i\theta})} \mathrm d\theta}}\) est {{c2::définie et continue sur \(\mathbb R^+\)}}, et {{c2::à valeurs dans \(\mathbb Z\), donc constante et nulle, car \(g(0) = 0\)}}.
{{c3::\(\frac {zP'(z)} {P(z)} \sim n\) en \(+\infty\), donc \(\frac {zP'(z)} {P(z)}\) est borné, et par le théorème de convergence dominée, \(\displaystyle \lim_{r\to + \infty} g(r) = n\). Donc \(n=0\). Contradiction avec l'hypothèse de l'énoncé.}}