Review Note

Intégrale de Gauß (avec fonction Beta d'Euler). On note \(\forall (x, y) \in (\mathbb R_+^*)^2, \Gamma(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t} \mathrm dt\) et \(\mathrm B(x, y) = \displaystyle \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} \mathrm dt\). Calculer \(\displaystyle \int_0^{ +\infty} e^{-t^2}\mathrm dt\).

• {{c1::On a \(\forall (x, y) \in (\mathbb R_+^*)^2, \frac {\Gamma (x) \Gamma (y)} {\Gamma (x+y)} = \mathrm B(x, y)\). On en déduit que \(\left(\Gamma\left(\frac 1 2 \right) \right)^2 = \mathrm B\left( \frac 1 2 , \frac 1 2 \right)\).}}
• {{c2::Or \(\mathrm B\left({{c1:: \frac 12, \frac 12 }}\right) = \pi\) (changement de variable \(t = \sin^2(u)\)), et \(\displaystyle \int_0^{ +\infty} e^{-t^2}\mathrm dt = \frac 1 2 \Gamma\left({{c1:: \frac 12 }}\right) = \frac {\sqrt \pi} 2\) (changement de variable \(t = \sqrt u\)).}}