Review Note
Last Update: 01/28/2025 10:39 AM
Current Deck: Mathématiques::Classiques::Thomas Lefevre::à partager::Réduction des endomorphismes
Published
Fields:
Texte
Décomposition OT.
Soit \(A \in GL_n(\mathbb R)\).
Il existe {{c1::\(O \in O_n(\mathbb R)\) et \(T \in M_n(\mathbb R)\) triangulaire supérieure telles que \(A =OT\)}}.
Démonstration :
Soit \(\mathcal F = (C_1, \cdots, C_n)\) la famille des colonnes de \(A\). ({{c2::C'est une base car \(A\) est invesible}}.) Soit \(\mathcal G = (V_1, \cdots, V_n)\) {{c2::la base orthonormée obtenue en appliquant l'alogrithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à \(\mathcal F\)}}.
Alors {{c3::\(O = M_{\mathcal B_{can} }(\mathcal G)\) est orthogonale}} et \(A = {{c3::M_{\mathcal B_{can} }(\mathcal G)M_\mathcal G(\mathcal F)}} = OT\).
\({{c3::\forall i \in [\![ 1, n ]\!], C_i \in \mathrm {Vect}(V_1, \cdots, V_i)}}\) donc \(T\) est triangulaire.
Soit \(A \in GL_n(\mathbb R)\).
Il existe {{c1::\(O \in O_n(\mathbb R)\) et \(T \in M_n(\mathbb R)\) triangulaire supérieure telles que \(A =OT\)}}.
Démonstration :
Soit \(\mathcal F = (C_1, \cdots, C_n)\) la famille des colonnes de \(A\). ({{c2::C'est une base car \(A\) est invesible}}.) Soit \(\mathcal G = (V_1, \cdots, V_n)\) {{c2::la base orthonormée obtenue en appliquant l'alogrithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à \(\mathcal F\)}}.
Alors {{c3::\(O = M_{\mathcal B_{can} }(\mathcal G)\) est orthogonale}} et \(A = {{c3::M_{\mathcal B_{can} }(\mathcal G)M_\mathcal G(\mathcal F)}} = OT\).
\({{c3::\forall i \in [\![ 1, n ]\!], C_i \in \mathrm {Vect}(V_1, \cdots, V_i)}}\) donc \(T\) est triangulaire.
Verso Extra
Tags:
Suggested Changes:
Deck Changes (Suggestion to move the Note to the following Deck):
Field Changes:
Tag Changes: