Review Note

Soit \((f, g) \in L(E)^2\) où \(E\) est un \(\mathbb C\)-espace vectoriel de dimension finie non nulle. On suppose que \(f\) et \(g\) commutent. Montrer qu'il existe un vecteur propre commun à \(f\) et \(g\).

• {{c1::Comme \(\chi_f\) est scindé, \(f\) admet une valeur propre \(\lambda\). Alors \(E_\lambda = \ker(f- \lambda \mathrm{Id}_E)\) est stable par \(g\) et on note \(h\) l'endomorphisme induit par \(g\) sur \(E_\lambda\).}}
• {{c1::Comme \(\chi_h\) est scindé, \(h\) possède un vecteur propre, qui est un vecteur propre commun à \(f\) et \(g\).}}