Review Note

Soit \(f : \mathbb R \to \mathbb R_+\) une fonction continue et convexe telle que \(\displaystyle \lim_{+\infty} f = 0\). Pour tout \(h > 0\), on note \(S(h)= \displaystyle \sum_{n =0}^{+\infty} (-1)^nf(nh)\). Montrer que cette série converge et que \(\displaystyle \lim_{h \to 0^+} S(h) = \frac {f(0)} 2\).

• {{c1::On montre par l'absurde et en utilisant le théorème des pentes croissantes que \(f\) est décroissante. D'où la convergence par le critère spécial des séries alternées.}}
• {{c2::On a \(f(0) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n(f((n+1)h) + f(nh))\) donc en majorant par le premier terme \(\left| S(h) - \frac {f(0)} 2 \right| \leqslant \left| \frac {f(0)} 2 -\frac {f(h)} 2 \right| \to 0\).}}