Review Note

Théorème de Liouville

Soit \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(+\infty\) dont on note \(S\) la somme. On suppose \(S\) bornée.
On a : \(\forall n \in \mathbb{N},\ \forall r >0,\ a_n = \frac{1}{2\pi r^n}\displaystyle \int_0^{2\pi} S(re^{i\theta})e^{-in\theta} \mathrm{d}\theta\).

Soit \(r > 0\). Soit \(M \in \mathbb{R^+}\) tel que \(\forall z \in \mathbb{C}, |S(z)| \leqslant M\).

On a : \(\forall n \in \mathbb{N}, |a_n| \leqslant {{c2::\frac{1}{2\pi r^n}\displaystyle \int_0^{2\pi} |S(re^{i\theta})| \mathrm{d}\theta \leqslant \frac{M}{r^n} }}\).

Quand {{c1::\(r \to +\infty,\ \forall n \in \mathbb{N}\ \backslash\ \{0\},\ |a_n| = 0\). D'où \(\forall z \in \mathbb{C}, S(z) = a_0\) et \(S\) est constante.}}