Review Note

Comparaison série-intégrale, cas non monotone

On suppose \(f: ]0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{C}\) {{c1::de classe \(C^1\) et telle que \(f'\) soit intégrable sur \([1, +\infty[\)}}.
Soit \(n \in \mathbb{N}\ \backslash\ \{0\}\).
\[f(n) - \displaystyle \int_n^{n+1}f(t)\mathrm{d}t = \displaystyle \int_n^{n+1} (f(n)-f(t))\mathrm{d}t = {{c2::\displaystyle \left[(t-(n+1))(f(n)-f(t))\right]_n^{n+1} + \displaystyle \int_n^{n+1}(t-(n+1))f'(t)\mathrm{d}t}}\]Donc : \(f(n) - \displaystyle \int_n^{n+1}f(t)\mathrm{d}t = {{c2::\displaystyle \int_n^{n+1}(t-(n+1))f'(t)\mathrm{d}t}}\).

Alors : \[\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \left|f(n) - \displaystyle \int_n^{n+1}f(t)\mathrm{d}t \right| \leqslant \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle \int_n^{n+1}|t-(n+1)||f'(t)|\mathrm{d}t \leqslant \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} {{c3::\displaystyle \int_n^{n+1} |f'(t)|\mathrm{d}t}} = \displaystyle \int_1^{+\infty} |f'(t)|\mathrm{d}t < +\infty\]
D'où le résultat : \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f(n) \mathrm{\ et\ } \left(\displaystyle \int_1^{n+1} f(t)\mathrm{d}t\right)_{n \geqslant 1}\) sont de même nature.