Review Note

On note \(E = \mathrm C^0([0, 1], \mathbb R)\). Soit \(\varphi \in E\). On pose \(\forall f \in E, N_\varphi(f) = \|f\varphi\|_\infty\). Montrer que \(N_\varphi\) est une norme si et seulement si \(\mathring {\varphi^{-1} (\{0\})} = \varnothing\).

• \(\Rightarrow\) {{c1::Par contraposée, si \(\varphi\) est nulle sur un segment \(J\), alors en prenant \(f \neq 0\) telle que \(f_{|J} = 0\), on contredit la séparation.}}
• \(\Leftarrow\) {{c2::Seule la séparation pose problème. Si \(\|f\varphi\|_\infty = 0\), alors \(\forall x \in \varphi^{-1}(\mathbb R^*), f(x) = 0\). Or \(\varphi^{-1}(\mathbb R^*)\) est dense donc \(f = 0\) car continue.}}