Review Note

Théorème de Helly. Soient \(I\) un intervalle ouvert et \((f_n: I \to \mathbb R)_{n \in \mathbb N}\) une suite de fonctions croissantes. On suppose que pour tout \(x \in I\), \((f_n(x))_{n \in \mathbb N}\) est bornée. Montrer qu'il existe une sous-suite \((f_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb N}\) converge simplement vers une fonction \(f : I \to \mathbb R\) croissante.

• {{c1::On note \(E_n\) l'ensemble (dénombrable) des points de discontinuité de \(f_n\), et \(T = (I \cap \mathbb Q) \cup \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb N}E_n\) (dénombrable et dense dans \(I\)).}}
• {{c1::les sous-suites \((f_{\varphi_0(n)}(x_0))_{n \in \mathbb N}, \cdots, (f_{\varphi_0 \circ \cdots \circ \varphi_k(n)}(x_k))_{n \in \mathbb N}\) convergent. On pose \(\varphi : n \mapsto \varphi_0 \circ \cdots \circ \varphi_n (n)\). Alors \((f_{\varphi(n)}(x_k))_{n \in \mathbb N}\) converge pour tout \(k \in \mathbb N\). Cela définit \(f\) sur \(T\).}}
• {{c2::Si \(x \in I \backslash T\), et \((x_k)_{k \in \mathbb N} \in T^\mathbb N\) convergeant vers \(x\), alors pour tout \(n, m \in \mathbb N\) assez grands : \(f_{\varphi(n)}(x) \sim f_{\varphi(n)}(x_k)\) et \(f_{\varphi(m)}(x) \sim f_{\varphi(m)}(x_k)\) (continuité) et \(f_{\varphi(n)}(x_k) \sim f_{\varphi(m)}(x_k)\) (convergence) donc \((f_{\varphi(n)}(x))_{n \in \mathbb N}\) est de Cauchy donc converge.}}
• {{c3::Si \(x \leqslant y\), alors \(\forall n \in \mathbb N, f_n(x) \leqslant f_n(y)\) donc en passant à la limite, \(f(x) \leqslant f(y)\).}}