Review Note

Soit \((X_n)_{n \geqslant 0}\) une suite de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb N \backslash \{0\}\) indépendantes et identiquement distribuées. On pose \(C_n = \mathrm {card}\left(\{X_1, ..., X_n\}\right)\). Montrer que \(\mathrm E(C_n) = \underset { n \to +\infty} o (n)\). Si de plus, les \(X_i\) admettent une espérance, montrer que \(\mathrm E(C_n) = \underset{n \to +\infty} o\left( \sqrt n\right)\).

• {{c1::On a \(C_n = \mathrm {card}\left(\{X_1, ..., X_n\} \cap [1, a]\right) + \mathrm {card}\left(\{X_1, ..., X_n\} \cap ]a, +\infty[\right)\).}}
• {{c1::Donc \(\mathrm E(C_n) \leqslant a + n \mathrm P(X_1 > a)\).}} {{c2::En posant \(a = n \varepsilon\), on a \(\mathrm E(C_n) = \underset { n \to +\infty} o (n)\).}}
• {{c2::Si les \(X_i\) admettent une espérance, \(a \mathrm P(X > a) \leqslant \displaystyle \sum_{k=\lfloor a \rfloor}^{+\infty} k \mathrm P(X = k) \underset {a \to +\infty} \to 0\), d'où le résultat en posant \(a = \sqrt n \varepsilon\).}}