Review Note

Soit \(S\) une série entière de rayon de convergence \(+\infty\) qui ne s'annule pas sur \(\mathbb C\). Montrer qu'il existe une série entière \(T\) de rayon de convergence \(+\infty\) telle que \(S = \exp(T)\).

• {{c1::On pose \(T = \displaystyle \int_0^x \frac {S'(t)} {S(t)} \mathrm dt + a\) où \(a \in \mathbb C\) est tel que \(e^a = S(0)\).}}
• {{c2::Comme \(\frac 1 S\) est dérivable sur \(\mathbb C\), \(\frac 1 S\) est développable en série entière, donc \(T\) aussi.}}
• {{c2::En dérivant \(Se^{-T}\), on a bien \(S = \exp(T)\).}}