Review Note

Equation différentielle de Bessel. Soit \((E) : \forall x \in \mathbb R, xy''(x) + y'(x) +xy(x) = 0\). Soit \(J\) une solution sur \(\mathbb R\) telle que \(J(0) = 1\) et \(f\) une solution sur \(\mathbb R_+^*\). Montrer que \((J, f)\) est un système fondamental de solutions sur \(\mathbb R_+^*\) si et seulement si \(f\) n'est pas bornée au voisinage de 0.

• \(\Leftarrow\) {{c1::\(J\) et \(f\) ne sont pas colinéaires car on aurait une contradiction en 0.}}
  
• \(\Rightarrow\) {{c2::\(J(x)f'(x) - J'(x)f(x) = \frac {W(1)} x\) donc si \(f\) est bornée proche de \(0\), \(f'(x) \underset{x \to 0^+} \sim \frac {W(1)} x\) (car \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} J'(x) = 0\)).}}
  
• {{c2::En intégrant, on a \(f(1) - f(x) \underset {x \to 0^+} \sim \displaystyle \int_x^1 \frac {W(1)} t \mathrm dt = -W(1) \ln(x)\) ce qui est absurde.}}