Review Note

Déterminer les applications \(f : \mathbb R_+ \to \mathbb R_+\) telles que \(\forall x \in \mathbb R_+^*, \frac 12 \displaystyle \int_0^xf^2 = \frac 1x \left(\displaystyle \int_0^x f \right)^2 \ \ \ \ (*)\).

• {{c1::On suppose que \(\forall x \in \mathbb R_+^*, f(x) > 0\).}} {{c2::En dérivant et en divisant par le carré de \(F(x) = \displaystyle \int_0^xf\), on a \(\forall x \in \mathbb R_+^*, \frac 12 \left( \frac {F'(x)}{F(x)} \right)^2 = -\frac {1} {x^2} + \frac 2 x \frac {F'(x)}{F(x)}\).}}
• {{c2::\(g = \frac {F'} F\) vérifie une équation du second ordre, donc \(g(x) = \frac {2 \pm \sqrt 2} x\), et donc \(f(x) = \gamma x^{1 \pm \sqrt 2} + \lambda\).}}
  
• {{c1::Si \(t_0\) est le plus grand réel où \(f\) s'annule, alors \(f_{|[0, t_0]} = 0\) (en dérivant \((*)\)) donc on fait de même sur \(]t_0, + \infty[\).}}