Review Note
Last Update: 03/19/2025 09:16 PM
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Texte
Norme subordonnée à une norme euclidienne. Soit \(f \in \mathrm L(E)\). On pose \(\rho(f) = \max\{ |\lambda| \ | \ \lambda \in \mathrm {Sp}(f) \}\). Montrer que \(|||f||| = |||f^*||| = \sqrt{ \rho(f^* \circ f) }\).
- {{c1::Pour tout \(\vec x \in E\) unitaire, \(\|f(\vec x)\|^2 = \langle \vec x, f^*(f(\vec x)) \rangle \leqslant \|\vec x\|\cdot|||f||| \cdot \|f(\vec x)\| \) (Cauchy-Schwarz). Donc \(|||f||| \leqslant |||f^*|||\) et on a l'égalité en appliquant cela à \(f^*\).}}
- {{c2::\(|||f|||^2 \geqslant \rho(f^* \circ f)\) en considérant un vecteur propre associé à \(\rho(f^* \circ f)\).}}
- {{c2::\(|||f|||^2 \leqslant \rho(f^* \circ f)\) en introduisant une base de vecteurs propres de \(f^* \circ f \in S(E)\).}}
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