Review Note

Last Update: 03/19/2025 09:24 PM

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Montrer que \(\forall (A, B) \in (\mathrm S_n^+(\mathbb R))^2, (\det(A+B))^{\frac 1n} \geqslant (\det(A))^{\frac 1n} + (\det(B))^{\frac 1n}\).

{{c1::On suppose que \(A = \mathrm I_n\) et \(B \in \mathrm S_n^{++}(\mathbb R)\). En diagonalisant \(B\), on est ramené à montrer que \(\displaystyle \prod_{i=1}^n(1 + \lambda_i)^{\frac 1n} \geqslant 1 + \displaystyle \prod_{i=1}^n \lambda_i^{\frac 1n}\), qui équivaut à \(\frac 1n \displaystyle \sum_{i=1}^n \ln\left(1 + e^{\ln(\lambda_i)}\right) \geqslant \ln\left(1 + e^{\frac 1n \sum_{i=1}^n\ln(\lambda_i) } \right)\) qui est vraie par convexité de \(t \mapsto \ln\left(1+e^t\right)\).}}
{{c2::Si \(A \in \mathrm S_n^{++}(\mathbb R)\), on écrit \(A = R^2\) avec \(R \in \mathrm S_n^{++}(\mathbb R)\), et on a \[(\det(A+B))^{\frac 1n} = \left( \det\left(R^2 \right)\right)^{\frac 1n}\left(1 + \left(\det\left(R^{-1}BR^{-1}\right)\right)^{\frac 1n}\right) \geqslant (\det(A))^{\frac 1n} + (\det(B))^{\frac 1n}\] car \(R^{-1}BR^{-1} \in \mathrm S_n^{++}(\mathbb R)\).}}
{{c3::Si \(A\) et \(B\) sont non inversibles, il n'y a rien à dire. Si seulement \(B \in \mathrm S_n^+(\mathbb R) \backslash \mathrm S_n^{++}(\mathbb R)\), on raisonne par densité de \(\mathrm S_n^{++}(\mathbb R)\) dans \(\mathrm S_n^+(\mathbb R)\).}}

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