Review Note

Soit \(A : \mathbb R \to \mathrm M_n(\mathbb R)\) continue telle que \(\forall t \in \mathbb R, -(A(t)+A^\top(t)) \in \mathrm S_n^+(\mathbb R)\). On considère \((E) : Y' = AY\). Montrer que \((E)\) admet une solution non identiquement nulle et de limite nulle en \(+\infty \) si et seulement si \(\displaystyle \lim_{t \to + \infty} \displaystyle \int_0^t \mathrm {tr}(A(s))\mathrm ds = -\infty\).

• \(\Rightarrow\) {{c1::Si on complète ce vecteur \(Y_1\) en un système fondamental de solutions, on a \(W(0)\exp\left(\displaystyle \int_0^t \mathrm {tr}(A(s))\mathrm ds \right) = \det(Y_1, ..., Y_n) \underset {t \to + \infty} \to 0\) par continuité du déterminant.}}
  
• \(\Leftarrow\) {{c2::Si les colonnes de \(M\) forment un système fondamental de solutions, \(\det(M) = W(0)\exp\left(\displaystyle \int_0^t \mathrm {tr}(A(s))\mathrm ds \right) \underset {t \to +\infty} \to 0\).}}
  
• {{c3::Les solutions de \(E\) sont exactement les \(t \mapsto M(t)X\). Comme \(X^\top M^\top MY\) converge en \(+\infty\), \(M^\top M \underset {t \to +\infty} \to M_\infty\) converge aussi.}}
• {{c2::On a par continuité du déterminant, \(\det(M_\infty) = 0\). Si \(X \in \ker(M_\infty) \backslash \{\vec 0\}\), alors \(t \mapsto M(t)X\) est non nulle (car \(\det(M(t)) \neq 0\)) donc convient.}}