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Last Update: 03/19/2025 09:53 AM
Current Deck: Mathématiques::Classiques::Thomas Lefevre::à partager::Calcul différentiel
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Texte
Différentielle du gradient. Soit \(f \in \mathrm C^2(U, \mathbb R)\). Montrer que le gradient de \(f\) est différentiable et donner sa différentiellle.
- {{c1::On a \(\nabla f(\vec x) = \displaystyle \sum_{i=1}^n \partial_if(\vec x) \vec e_i\), et pour tout \(j\), \(\partial_j(\nabla f)(\vec x) = \displaystyle \sum_{i=1}^n \partial_{i, j}f(\vec x) \vec e_i\).}}
- {{c1::Ainsi, \(\mathrm d(\nabla f)_\vec x (\vec h) = \displaystyle \sum_{j=1}^n h_j\partial_j (\nabla f)(\vec x) = \displaystyle \sum_{j=1}^n \displaystyle \sum_{i=1}^n h_j\partial_{i, j}f(\vec x) \vec e_i = H_f(\vec x) \vec h\) : on reconnait la Hessienne.}}
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